1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

ĐK \(x\ge-3\)

PT <=> \(x^3+5x^2+6x+2=4\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x+7}\)

<=> \(2\left(x+3-2\sqrt{x+3}\right)+\left(x+5-2\sqrt{2x+7}\right)+x^3+5x^2+3x-9=0\)

+  Với x=-3 =>thỏa mãn 

+Với \(x>-3\) ta liên hợp

\(2.\frac{x^2+2x-3}{x+3+2\sqrt{x+3}}+\frac{x^2+2x-3}{x+5+2\sqrt{2x+7}}+\left(x+3\right)\left(x^2+2x-3\right)=0\)

<=> \(\left(x^2+2x-3\right)\left(\frac{2}{x+3+2\sqrt{x+3}}+\frac{1}{x+5+2\sqrt{2x+7}}+x+3\right)=0\)

Do \(x>-3\)=> \(\frac{2}{x+3+2\sqrt{x+3}}+\frac{1}{x+5+2\sqrt{2x+7}}+x+3>0\)

=> \(x=1\)(TMĐKXĐ)

Vậy \(x=1;x=-3\)

\(1.\dfrac{x-1}{3}-x=\dfrac{2x-4}{4}.\Leftrightarrow\dfrac{x-1-3x}{3}=\dfrac{x-2}{2}.\Leftrightarrow\dfrac{-2x-1}{3}-\dfrac{x-2}{2}=0.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-4x-2-3x+6}{6}=0.\Rightarrow-7x+4=0.\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{7}.\)

\(2.\left(x-2\right)\left(2x-1\right)=x^2-2x.\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2x-1\right)-x\left(x-2\right)=0.\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2x-1-x\right)=0.\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2.\\x=1.\end{matrix}\right.\)

\(3.3x^2-4x+1=0.\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)=0.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1.\\x=\dfrac{1}{3}.\end{matrix}\right.\)

\(4.\left|2x-4\right|=0.\Leftrightarrow2x-4=0.\Leftrightarrow x=2.\)

\(5.\left|3x+2\right|=4.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+2=4.\\3x+2=-4.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}.\\x=-2.\end{matrix}\right.\)

\(1,\dfrac{x-1}{3}-x=\dfrac{2x-4}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-1}{3}-x=\dfrac{x-2}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{2\left(x-1\right)-6x}{6}=\dfrac{3\left(x-2\right)}{6}\\ \Leftrightarrow2\left(x-1\right)-6x=3\left(x-2\right)\\ \Leftrightarrow2x-2-6x=3x-6\\ \Leftrightarrow-4x-2=3x-6\)

\(\Leftrightarrow3x-6+4x+2=0\\ \Leftrightarrow7x-4=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{4}{7}\)

\(2,\left(x-2\right)\left(2x-1\right)=x^2-2x\\ \Leftrightarrow2x^2-4x-x+2=x^2-2x\\ \Leftrightarrow x^2-3x+2=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)-\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(3,3x^2-4x+1=0\\ \Leftrightarrow\left(3x^2-3x\right)-\left(x-1\right)=0\\ \Leftrightarrow3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(4,\left|2x-4\right|=0\\ \Leftrightarrow2x-4=0\\ \Leftrightarrow2x=4\\ \Leftrightarrow x=2\)

\(5,\left|3x+2\right|=4\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+2=4\\3x+2=-4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=2\\3x=-6\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(6,\left|2x-5\right|=\left|-x+2\right|\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-5=-x+2\\2x-5=x-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=7\\x=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{7}{3}\\x=3\end{matrix}\right.\)

b: =>|x+2|+|2x-1|<x+1(1)

Trường hợp 1: x<-2

(1) sẽ là -x-2-2x+1<x+1

=>-3x-1<x+1

=>-4x<2

hay x>-1/2(loại)

Trường hợp 2: -2<=x<1/2

(1) sẽ là x+2+1-2x<x+1

=>-x+3<x+1

=>-2x<-2

hay x>1(loại)

Trường hợp 3: x>=1/2

(1) sẽ là x+2+2x-1<x+1

=>3x+1<x+1

=>x<0(loại)

Vậy: BPT vô nghiệm

b: =>|x+2|+|2x-1|<x+1(1)

Trường hợp 1: x<-2

(1) sẽ là -x-2-2x+1<x+1

=>-3x-1<x+1

=>-4x<2

hay x>-1/2(loại)

Trường hợp 2: -2<=x<1/2

(1) sẽ là x+2+1-2x<x+1

=>-x+3<x+1

=>-2x<-2

hay x>1(loại)

Trường hợp 3: x>=1/2

(1) sẽ là x+2+2x-1<x+1

=>3x+1<x+1

=>x<0(loại)

Vậy: BPT vô nghiệm

b: =>|x+2|+|2x-1|<x+1(1)

Trường hợp 1: x<-2

(1) sẽ là -x-2-2x+1<x+1

=>-3x-1<x+1

=>-4x<2

hay x>-1/2(loại)

Trường hợp 2: -2<=x<1/2

(1) sẽ là x+2+1-2x<x+1

=>-x+3<x+1

=>-2x<-2

hay x>1(loại)

Trường hợp 3: x>=1/2

(1) sẽ là x+2+2x-1<x+1

=>3x+1<x+1

=>x<0(loại)

Vậy: BPT vô nghiệm

giống Nguyễn Lê Phước Thịnh nhé

Đặt \(u=x^2-x\)

Phương trình trở thành \(u^2-4u+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(u-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow u-2=0\)

\(\Rightarrow x^2-x=2\)

\(\Rightarrow x^2-x-2=0\)

Ta có \(\Delta=1^2+4.2=9,\sqrt{\Delta}=3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+3}{2}=2\\x=\frac{1-3}{2}=-1\end{cases}}\)

Đặt \(2x+1=w\)

Phương trình trở thành \(w^2-w=2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}w=2\\w=-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x+1=2\\2x+1=-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\x=-1\end{cases}}\)

Đặt\(x^2-3x=k\)

Phương trình trở thành \(k^2+5k+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(k+2\right)\left(k+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}k=-2\\k=-3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-3x=-2\\x^2-3x=-3\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{1;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\sqrt{2x^2+1}-\left(x+3\right)=x^2\)

=>\(\left(x+3\right)\cdot\left(\sqrt{2x^2+1}-1\right)=x^2\)

=>\(\left(x+3\right)\cdot\dfrac{2x^2+1-1}{\sqrt{2x^2+1}+1}-x^2=0\)

=>\(x^2\left(\dfrac{2\left(x+3\right)}{\sqrt{2x^2+1}+1}-1\right)=0\)

=>x^2=0 hoặc \(\dfrac{2\left(x+3\right)}{\sqrt{2x^2+1}+1}=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\\sqrt{2x^2+1}+1=2x+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x^2+1=\left(2x+5\right)^2;x>=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\4x^2+20x+25-2x^2-1=0;x>=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\\left\{{}\begin{matrix}2x^2+20x+24=0\\x>=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5+\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

=>Phương trình này có 2 nghiệm

Xét pt \(\left|x-1\right|^{2010}+\left|x-2\right|^{2011}=1\) (1)

Nhận thấy \(x=1\) và \(x=2\) là 2 nghiệm của pt

- Với \(x>2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2\right|>0\\\left|x-1\right|>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|^{2010}>1\\\left|x-2\right|^{2011}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|^{2010}+\left|x-2\right|^{2011}>1\) nên pt vô nghiệm

- Với \(x< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|=\left|1-x\right|>0\\\left|x-2\right|=\left|2-x\right|>1\end{matrix}\right.\)

Tương tự như trên ta có \(\left|x-1\right|^{2010}+\left|x-2\right|^{2011}>1\) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm

- Với \(1< x< 2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< \left|x-1\right|< 1\\0< \left|2-x\right|< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|^{2010}< \left|x-1\right|\\\left|2-x\right|^{2011}< \left|2-x\right|\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|^{2010}+\left|x-2\right|^{2011}< \left|x-1\right|+\left|2-x\right|=x-1+2-x=1\)

\(\Rightarrow\) Pt vô nghiệm

Vậy pt có đúng 2 nghiệm \(x=1\); \(x=2\)

Lần lượt thế vào \(x^2+y^2-2x=11\) để tìm y

a: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\left(m-3\right)\left(m+2\right)\ne0\)

hay \(m\notin\left\{3;-2\right\}\)

Để phương trình có vô số nghiệm thì \(m-3=0\)

hay m=3

Để phương trình vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)\left(m+2\right)=0\\m^2-4m+3< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\)